En estadística inferencial, el estudio de la distribución muestral de la media es fundamental para poder estimar parámetros poblacionales y realizar contrastes de hipótesis. A partir de una población con parámetros conocidos o desconocidos, se extraen muestras y se analizan las propiedades de los estadísticos obtenidos, especialmente la media aritmética, con el fin de generalizar resultados a toda la población. En la siguiente entrada seguimos con la sección de Diseños de Investigación y Análisis de Datos, centrada en Los parámetros e hipótesis. En esta entrada seguimos con la distribución muestral de la media.
La distribución muestral de la media [Diseños de Investigación y Análisis de Datos]
Una población está caracterizada por parámetros como la media (μ) y la varianza (σ²). Al extraer muestras de tamaño fijo 𝑛, cada muestra produce una media muestral que puede variar entre muestras. El conjunto de todas esas medias forma la distribución muestral de la media, la cual describe el comportamiento probabilístico de dicho estadístico.
Esta distribución puede considerarse normal cuando se cumple al menos una de estas condiciones:
- La variable poblacional sigue una distribución normal.
- El tamaño muestral es grande (generalmente 𝑛 ≥ 30), según el Teorema Central del Límite (TCL).
La distribución muestral de la media tiene como media el mismo valor que la población (μ), pero presenta una variabilidad menor, medida mediante el error típico de la media
Cuando la varianza poblacional es conocida, la media muestral tipificada sigue una distribución normal estándar (Z), lo que permite calcular probabilidades mediante tablas normales. Sin embargo, cuando la varianza poblacional es desconocida, situación habitual en la investigación, la media tipificada sigue una distribución t de Student, con 𝑛 – 1 grados de libertad. A medida que el tamaño muestral aumenta, esta distribución se aproxima progresivamente a la normal.
El tema se ilustra con un ejemplo práctico en el que, a partir de una población normal conocida, se calcula la probabilidad de obtener determinadas medias muestrales, aplicando la distribución muestral de la media y la tipificación correspondiente.
En conclusión, la distribución muestral de la media es una herramienta esencial para la inferencia estadística, ya que permite comprender cómo se comportan las medias obtenidas a partir de muestras y estimar la probabilidad de ciertos resultados. El Teorema Central del Límite garantiza su aproximación a la normalidad en muestras grandes, y el uso de las distribuciones Z o t de Student depende del conocimiento de la varianza poblacional. Gracias a estos principios, es posible realizar inferencias fiables sobre la población a partir de muestras, incluso cuando no se dispone de información completa sobre sus parámetros.
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